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文章关键词:银河至尊首页,纯应变

  接下来对方程 另一方面我们在方程 两边同时乘以再在截面彳上积分 得到 。。在本研究中我们讨论梁的纯弯曲变形 则梁上不存在轴向力。因此 在整个梁上可简单地令尽 。对于材料性质对称分布的梁 轴力为零也是很显然的。在这种环境下 由方程 。银河至尊官网其中矾一篇 考虑到功能梯度细长梁的应力 应变关系 并忽略轴向力 我们

  接下来对方程 另一方面我们在方程 两边同时乘以再在截面彳上积分 得到 。。在本研究中我们讨论梁的纯弯曲变形 则梁上不存在轴向力。因此 在整个梁上可简单地令尽 。对于材料性质对称分布的梁 轴力为零也是很显然的。在这种环境下 由方程 。其中矾一篇 考虑到功能梯度细长梁的应力 应变关系 并忽略轴向力 我们可推导出耦合方程 至此我们得到两个含变系数的耦合偏微分方程。如果我们将方程 同时求导并代入式 我们得到博士学位论文第四章双向梯度梁的自由振动分析导 以上推导中我们忽略了剪切变形但考虑了截面的惯性矩。在本例中 假设 融是成立的即横截面变形前是平面 变形后仍然保持为平面 且总与中性轴相垂直。根据 假设 上述方程 可推导为 观察上式如果让材料性质保持不变 例如 我们有 分别为横截面的面积和惯性矩。则方程可简化为 梁控制微分方程是一致的。如果进一步忽略惯性矩的作用也就是 这就退化为 梁的控制方程了。从功能梯度梁的动力学行为出发 弯矩 和剪力 可用 表示 并衍生出其表达式为 一扇 积分方程的推导由于是考虑功能梯度梁的自由振动问题则所加的侧向载荷为零 接着对于调和振动 我们假设挠度的形式为 博士学位论文第四章双向梯度梁的自由振动分析兵甲衣不目由振动阴角频率 为以后的计算方便我们引入下列变量 分别为弹性模量和密度的参考值它们在一定位置时可作为材料常数。利用以上无量纲变量 方程 在以上表达式中左边第二项反映惯性矩对自然频率的贡献 对于细长杆由于长细比厕足够大 因而惯性矩对自然频率的影响是次要的。将方程 两边对变量孝从 到孝依次积分两次 则分别有 继续将方程两边对变量孝积分两次 分别有 其中符号‘‘’”表示对相关函数的微分。上述积分中为积分常数 它们可以通过杆端给定的边界条件来确定。一旦四个 积分常数可用矿 形式博士学位论文第四章双向梯度梁的自由振动分析确定将它们代入方程 我们最终将得到关于未知函数矿 的一个积分方程。由于梁自振的自然频率与边界条件有着密切的关系 因此我们给出与挠度旷 相关的物理量的显式表达式如弯矩 剪力 和转角 。为简单起见 去掉时间因子 观察弯矩的表达式 时有胪的边界条件 将其代入方程 我们可以得到 当分别令并且利用挠度 的边界条件 将其代入方程 我们就能得到 的值确定后然后将之代回方程 通过运算化简之后我们可以得到一个简支梁的 积分方程 其中博士学位论文第四章双向梯度梁的自由振动分析 自然频率的求解为了求得上述积分方程 关键在于确定积分方程的特征值通过式 可知特征值是和自然频率有关的量 一旦特征值确定 则自然频率也就确定下来了。由于这里我们关注的是简支梁 因此求解特征值的简便方法是先将函数矿 展开成三角级数的形式 其中是未知系数 是一正整数 这一整数需要取的足够大而使得级数余量变得很小 即对挠度产生的误差可忽略不计。以上函数矿 表达式和简支梁的边界条件是完全符合的。这样 如果我们将式 代入前面推导出来的 积分方程 就会得到如下的方程 我们在上述方程的两边同时乘以因子 积分就可以得到一系列关于 的线性方程组 去屯一向。一 其中氏。表示符号 为了使上述线性方程组取得非平凡解即非零解 其系数矩阵的行列式必须满足为零的条件。这样 我们就可以得到关于 的特征方程 当特征值被确定后 那么自然频率通过表达式 可直接求得。数值结果与讨论前面我们给出了确定简支的功能梯度梁自由振动时自然频率的计算公式。接下来本节主要将分析梯度参数和惯性矩对无量纲自然频率 的影响。在自然频率结果呈现之前 我们先表明该方法的有效性和精确性。因此 我先考虑简支的弯曲刚度和密度变化的 梁。下面分析两种典型情形 情形是弯曲刚度和密度沿高度和 或宽度线性变化的非均匀梁 其弯曲刚度和密度的满足下列关系式 一所其中口和 表示梁的材料性质或几何性质变化的两个参数。当取 情形和情形下计算所得的无量纲自然频率分别在表 中列出。从表中可看出我们的数值结果与文献 】计算值只适合于口这一情形 而我们现在的方法有更广泛的应用 实数口和 的取值可以是任意的取值范围。从表 可见 对于宽度为常数的简支梁 自然频率随着参数口的增大而增大。但是 对于高度为常数的简支梁 自然频率的变化趋势变得有些复杂。当参数 增大时 基本频率减小 但第二阶自然频率上升。随着参数 变化 第三阶自然频率会在某个确定值 达到峰值。对于梯度呈指数变化的筒支梁 我们观察到当参数罗值一定 参数口增大时 自然频率一直是减少的。 博士学位论文第四章双向梯度梁的自由振动分析反过来 若参数口固定 则自然频率会有相反的变化趋势。更精确地 若参数 值增加 参数口不变 则自然频率值会变大些。表 无量纲自然频率 博士学位论文第四章双向梯度梁的自由振动分析表无量纲自然频率 圆括号中的结果通过文献得出 方括号中结果来自文献 】以上得到的自然频率数值结果我们并没考虑到惯性矩。下面我们用以上两种情形来检验惯性矩对无量纲自然频率 。的影响。银河至尊官网图 时无量纲第一阶自然频率和的关系。显然 当考虑惯性矩时 自然频率值会明显减小。频率的量级与参数口和 相关 且不相同。对 情形 同样也考虑惯性矩时 我们在图 时无量纲第一阶自然频率和的关系。在这个例子中 我们发现随着 的增大 自然频率只产生了轻微的减小。

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